Логіка 9 клас

Поняття теореми (пряма, обернена, протилежна, обернена до протилежної)

        Теорема — твердження , для якого в теорії, що розглядається, існує доказ (інакше кажучи, доведення).

• Аксіома або постулат - твердження, яке приймається істинним без доказів і вважається основоположним для даного предмета дослідження. Історично такі твердження розглядалися як "самоочевидні", але останнім часом їх прийнято називати припущеннями, які характеризують предмет дослідження. В класичній геометрії, аксіоми є загальними твердженнями, а постулатами є твердження про геометричні об'єкти. Визначення також приймається без доказів, оскільки воно просто дає пояснення слову або фразі в термінах відомих понять.
• Недоведене твердження, яке вважається істинним називається припущенням (або іноді гіпотезою, але із іншим значенням ніж описане вище). Щоб твердження розглядалося як гіпотеза, його повинні озвучувати публічно, часто із указанням імені людини, що її запропонувала на загальний розсуд, наприклад як Гіпотеза Гольдбаха. До інших відомих припущень відносяться Гіпотеза Коллатца та Гіпотеза Рімана. З іншого боку, Велика теорема Ферма завжди була відома під такою назвою, навіть тоді, коли вона ще не була доведена; і ніколи не існувало поняття "Гіпотези Ферма".
• Висловлювання це теорема меншої значимості. Цей термін іноді асоціюють із твердженням, що має просте доведення, а термін теорема зазвичай використовують більш важливі результати або ті, що мають більш довге складне доведення. Деякі автори ніколи не використовують цього поняття, а інші використовують термін "теорема" лише для фундаментальним результатам. В класичній геометрії, цей термін використовувалися інакше: В Началах Евкліда (300 р. до н.е.), всі теореми і геометричні конструкції називалися "висловлюваннями" незалежно від їх важливості.
• Лема це "допоміжна теорема", це висловлювання із обмеженим застосуванням, за винятком того, що вона є частиною доведення більшої теореми. В деяких випадках, коли відносна важливість різних теорем стає більш чіткою, те що іноді розглядалося як лема згодом стає теоремою, але слово "лема" залишається в назві. Такими прикладами є Лема Гауса, Лема Цорна, і Фундаментальна лема.
• Наслідок це твердження що випливає як наслідок доказу іншої теореми і не потребує складного доведення. Наслідком, може бути теорема доведена для більш обмеженого часткового випадку. Наприклад, теорема, що стверджує що всі кути прямокутника є прямими кутами має наслідок, що всі кути квадрата (що є частковим випадком прямокутника) теж є прямими кутами.
• Обернення теореми це твердження, що утворене взаємною перестановкою того, що дано в теоремі і що необхідно довести. Наприклад, теорема про рівнобедрений трикутник стверджує, що дві сторони трикутника будуть рівними, коли рівними є два кути. Як обернене твердження, коли дане (дві сторони є рівними) і те, що необхідно довести (рівними будуть два кути) взаємно замінені, таким чином оберненням є твердження, що два кути трикутника будуть рівними, коли рівними є дві сторони. В даному прикладі, обернену теорему можна довести як окрему теорему, але часто це буває не так. Наприклад, для твердження що два прямі кути є рівними кутами буде обернене твердження, що два рівні між собою кути є прямими кутами, але очевидно що це не обов'язково так.
• Узагальнення це загальна теорема, яка містить попередньо доказану теорему як частковий випадок, а отже як наслідок загальної.

Існують і інші терміни, не так часто вживані, які мають відношення до доведених тверджень, тому деякі теореми називаються так історично або мають своєрідні назви. Наприклад:

• Тотожність це рівність, яку містить теорема, що встановлена між двома математичними виразами, що є дійсною для всіх значень будь-якої змінної або параметру, що зустрічаються в даних виразах. Наприклад, такими є Формула Ейлера і Тотожність Вандермонда
• Правило це теорема, така як Правило Баєса чи Правило Крамера, яка доводить корисну формулу.